Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+lnx．
（1）函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x-2y+1=0垂直，求a的值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若不等式2xlnx≥x²+ax+lnx在區(qū)間（0，e]上恒成立，求a的范圍．

Answer 1

分析 （　�。┯深}意根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再根據(jù)此切線與直線x-2y+1=0垂直，求得a的值．
（2）令f′（x）=0，根據(jù)導數(shù)的符號求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）由題意可得a≤2lnx-x-$\frac{1}{x}$lnx在區(qū)間（0，e]上恒成立．令g（x）=2lnx-x-$\frac{1}{x}$lnx，由g′（x）＜0，可得g（x）在區(qū)間（0，e]上單調(diào)遞減，求得g（x）的最小值，可得a的范圍．

解答 解：（1）由題意可得，f（1）=1-2a，故點（1，f（1））即點（1，1-2a）．
∵f′（1）=（2x-2a+$\frac{1}{x}$）|_x=1=3-2a，函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x-2y+1=0垂直，
∴（3-2a）×$\frac{1}{2}$=-1，∴a=$\frac{5}{2}$．
（2）由（1）可得f（x）=x²-5x+lnx，f′（x）=2x-5+$\frac{1}{x}$，令f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-5x+1}{x}$=0，求得x=$\frac{5±\sqrt{17}}{4}$．
在（0，$\frac{5-\sqrt{17}}{4}$）、（$\frac{5+\sqrt{17}}{4}$，+∞）上，f′（x）＞0，故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（0，$\frac{5-\sqrt{17}}{4}$）、（$\frac{5+\sqrt{17}}{4}$，+∞）；
在（$\frac{5-\sqrt{17}}{4}$，$\frac{5+\sqrt{17}}{4}$ ）上，f′（x）＜0，故函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（$\frac{5-\sqrt{17}}{4}$，$\frac{5+\sqrt{17}}{4}$ ）．
（3）若不等式2xlnx≥x²+ax+lnx在區(qū)間[0，e]上恒成立，即a≤2lnx-x-$\frac{1}{x}$lnx在區(qū)間（0，e]上恒成立．
令g（x）=2lnx-x-$\frac{1}{x}$lnx，g′（x）=$\frac{2}{x}$-1+$\frac{1}{{x}^{2}}$（lnx-1）≤$\frac{2}{x}$-1≤$\frac{2}{e}$-1＜0，
故g（x）在區(qū)間（0，e]上是減函數(shù)，故g（x）的最小值為g（e）=2-e-$\frac{1}{e}$，故a≤2-e-$\frac{1}{e}$．

點評 本題主要考查求函數(shù)在某一點的切線方程，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求函數(shù)的最值，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．