Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=-2$\sqrt{3}$cos²（x+$\frac{π}{4}$）+2sin（x+$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{3}$
（1）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)求f（x）值域；
（2）若θ∈（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$），f（θ）=$\frac{2}{3}$，求cos（2θ+$\frac{π}{12}$）的值．

Answer 1

分析 （1）首先通過三角函數(shù)的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變性成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域．
（2）利用函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用函數(shù)的值求出結(jié)果，主要考出角的恒等變換．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=-2$\sqrt{3}$cos²（x+$\frac{π}{4}$）+2sin（x+$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{3}$
=$-\sqrt{3}[cos（2x+\frac{π}{2}）+1]$+$sin（2x+\frac{π}{2}）+\sqrt{3}$
=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
當(dāng)x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，$0≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$，
則：$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，
則：$-1≤2sin（2x+\frac{π}{6}）≤2$，
即：函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-1，2]．
（2）由（1）得：函數(shù)的解析式為：f（x）=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
所以：若θ∈（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$），
所以：$\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，
又f（θ）=$\frac{2}{3}$，
所以：$2sin（2θ+\frac{π}{6}）=\frac{2}{3}$，
所以：$sin（2θ+\frac{π}{6}）=\frac{1}{3}$，
進(jìn)一步解得：$cos（2θ+\frac{π}{6}）=±\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
①當(dāng)cosθ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$時(shí)，
cos（2θ+$\frac{π}{12}$）=cos[（2θ+$\frac{π}{6}$）$-\frac{π}{4}$]=$\frac{4+\sqrt{2}}{6}$；
②當(dāng)$cosθ=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$時(shí)，cos（2θ+$\frac{π}{12}$）=cos[（2θ+$\frac{π}{6}$）$-\frac{π}{4}$]=$\frac{-4+\sqrt{2}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，利用函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域，求三角函數(shù)的值，主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力．