Question

10．設(shè)平面向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow$=（cosx+2$\sqrt{3}$，sinx），$\overrightarrow{c}$=（sinα，cosα），x∈R．
（1）若$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{c}$，求cos（2x+2α）的值；
（2）若α=0，求函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow-2\overrightarrow{c}）$的最大值，并求出相應(yīng)的x值．

Answer 1

分析 （1）利用兩個向量垂直，它們的數(shù)量積等于0，以及二倍角的余弦公式求得cos（2x+2α）的值．
（2）若α=0，則$\overrightarrow{c}$=（0，1），由題意化簡可得函數(shù)解析式：f（x）=1+4sin（x+$\frac{2π}{3}$），利用正弦函數(shù)的有界性求出函數(shù)的最值．

解答 解：（1）若$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{c}$，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=0，
∴cosxsinα+sinxcosα=0，
∴sin（x+α）=0，
∴cos（2x+2α）=1-2sin²（x+α）=1．
（2）若α=0，$\overrightarrow{c}$=（0，1），
則f（x）=$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow-2\overrightarrow{c}）$=（cosx，sinx）•（cosx+2$\sqrt{3}$，sinx-2）=cosx（cosx+2$\sqrt{3}$）+sinx（sinx-2）=1-2sinx+2$\sqrt{3}$cosx=1+4sin（x+$\frac{2π}{3}$），
所以，f（x）max=5，x=2kπ-$\frac{π}{6}$（k∈Z）．

點評 本題考查兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量坐標(biāo)形式的運算，屬于基本知識的考查．