Question

已知向量

.

a

=（sin（x+

π

6

），1），

b

=（4，4cosx-

3

）
（I）若

a

⊥

b

，求sin（x+

4π

3

）的值；
（II）設(shè)f（x）=

a

•

b

，若α∈[0，

π

2

]，f（α-

π

6

）=2

3

，求cosα的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）由垂直可得數(shù)量積為0，可得sin（x+

π

3

）=

1

4

，由誘導(dǎo)公式可得；
（Ⅱ）由已知化簡(jiǎn)可得sin（α+

π

6

）的值，結(jié)合角的范圍和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得cos（α+

π

6

）的值，而cosα=cos[（α+

π

6

）-

π

6

]=

3

2

cos（α+

π

6

）+

1

2

sin（α+

π

6

），代入化簡(jiǎn)可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=0，
∴

a

•

b

=4sin（x+

π

6

）+4cosx-

3

=2

3

sinx+6cosx-

3

=4

3

sin（x+

π

3

）-

3

=0，
∴sin（x+

π

3

）=

1

4

，
∴sin（x+

4π

3

）=-sin（x+

π

3

）=-

1

4

，
（Ⅱ）∵f（x）=

a

•

b

=4

3

sin（x+

π

3

）-

3

，
∴f（α-

π

6

）=4

3

sin（α+

π

6

）-

3

=2

3

，
∴sin（α+

π

6

）=

3

4

，又α∈[0，

π

2

]，
∴α+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]，又

2

2

＜

3

4

＜

3

2

，
∴α+

π

6

∈[

π

6

，

π

3

]，∴cos（α+

π

6

）=

7

4

，
∴cosα=cos[（α+

π

6

）-

π

6

]=

3

2

cos（α+

π

6

）+

1

2

sin（α+

π

6

）
=

3

2

×

7

4

+

1

2

×

3

4

=

3+ 21

8

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及向量的垂直和三角函數(shù)的取值范圍，屬中檔題．