Question

7．某人銷售某種商品，發(fā)現(xiàn)每日的銷售量y（單位：kg）與銷售價格x（單位：元/kg）滿足關系式$y=\left\{\begin{array}{l}\frac{150}{x-6}+a{（x-9）^2}，6＜x＜9\\ \frac{177}{x-6}-x，\;9≤x≤15\end{array}\right.$，其中a為常數(shù)．已知銷售價格為8元/kg時，該日的銷售量是80kg．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若該商品成本為6元/kg，求商品銷售價格x為何值時，每日銷售該商品所獲得的利潤最大．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將x=8、y=80代入分段函數(shù)對應的那一段，計算即得結論；
（Ⅱ）通過利潤=（售價-成本）×數(shù)量，對售價x分6＜x＜9、9≤x≤15兩種情況討論即可．

解答 解：（Ⅰ）∵銷售價格為8元/kg時，該日的銷售量是80kg，
∴$80=\frac{150}{8-6}+a{（8-9）^2}$，
解得a=5；
（Ⅱ）當商品成本為6元/kg時，結合（I）可知商品銷售利潤為：
$（x-6）y=\left\{\begin{array}{l}（x-6）[{\frac{150}{x-6}+5{{（x-9）}^2}}]，6＜x＜9\\（x-6）（\frac{177}{x-6}-x），\;9≤x≤15\end{array}\right.$，
①當6＜x＜9時，利潤${y_1}=150+5（x-6）{（x-9）^2}$，
∵${y_1}^′=5[（x-6）{（x-9）^2}]'$=5[（x-6）（x²-18x+81）]'=15（x-7）（x-9），
∴y₁在區(qū)間（6，7）上單調遞增，在區(qū)間（7，9）上單調遞減，
∴當x=7時利潤最大，最大值為170元；
②當9≤x≤15時，利潤${y_2}=177-x（x-6）=-{x^2}+6x+177$，
而y₂是開口向下的二次函數(shù)，其對稱軸是x=3，
∴y₂在區(qū)間（9，15）上單調遞減，
∴當x=9時利潤最大，最大值為150元；
綜上可知，當銷售價格為7元/kg，該日銷售該商品的利潤最大，最大值為170元．

點評 本題考查函數(shù)模型的選擇與應用，考查運算求解能力，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．