Question

8．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-a（其中a∈R，e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）設(shè)過曲線h（x）=-f（x）-（a+1）x+2a上任意一點(diǎn)處的切線l₁，總存在過曲線g（x）=（x-1）a+2cosx上一點(diǎn)處的切線l₂，使得l₁⊥l₂，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最值即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅲ）題意等價(jià)于對(duì)?x₁，?x₂使得（-${e}^{{x}_{1}}$-1）（a-2sinx₂）=-1，即2sinx₂=a-$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}+1}$對(duì)?x₁有解x₂，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=e^x-x-1，f′（x）=e^x-1．
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0．…（2分）
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
∴函數(shù)f（x）在x=0處取得最小值f（0）=0．…（4分）
（Ⅱ）由f（x）=e^x-ax-a，f′（x）=e^x-a，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在R上單調(diào)遞增．…（6分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=0，得x=ln a，
則當(dāng)x∈（-∞，ln a）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（ln a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．
∴函數(shù)f（x）在（-∞，ln a）上單調(diào)遞減，在（ln a，+∞）上單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（-∞，ln a）上單調(diào)遞減，在（ln a，+∞）上單調(diào)遞增．…（8分）
（Ⅲ）由題意得h（x）=-e^x-x+3a，設(shè)y=h（x）上的切點(diǎn)為（x₁，y₁），
y=g（x）上的切點(diǎn)為（x₂，y₂），h′（x）=-e^x-1，g′（x）=a-2sinx．…（9分）
題意等價(jià)于對(duì)?x₁，?x₂使得（-${e}^{{x}_{1}}$-1）（a-2sinx₂）=-1，
即2sinx₂=a-$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}+1}$對(duì)?x₁有解x₂，
∵2sinx₂的值域?yàn)閇-2，2]，a-$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}+1}$的值域?yàn)椋╝-1，a），…（10分）
∴（a-1，a）⊆[-2，2]．
則$\left\{\begin{array}{l}{a-1≥-2}\\{a≤2}\end{array}\right.$⇒-1≤a≤2．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，2]．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．