Question

13．已知$f（x）={sin^2}（2x-\frac{π}{4}）-2t•sin（2x-\frac{π}{4}）+{t^2}-6t+1（x∈[\frac{π}{24}，\frac{π}{2}]）$其最小值為g（t）．
（1）若t=1，求$f（{\frac{π}{8}}）$的值；
（2）求g（t）的表達(dá)式；
（3）當(dāng)$-\frac{1}{2}≤t≤1$時，要使關(guān)于t的方程g（t）=kt有一個實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若t=1，代入計算求$f（{\frac{π}{8}}）$的值；
（2）分類討論，求g（t）的表達(dá)式；
（3）令h（t）=g（t）-kt，欲使g（t）=kt有一個實(shí)根，則只需$\left\{{\begin{array}{l}{h（-\frac{1}{2}）≤0}\\{h（1）≥0}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{h（-\frac{1}{2}）≥0}\\{h（1）≤0}\end{array}}\right.$，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）t=1，$f（{\frac{π}{8}}）$=1-6+1=-4                                       …（3分）
（2）因?yàn)?x∈[\frac{π}{24}，\frac{π}{2}]$，所以$2x-\frac{π}{4}∈[-\frac{π}{6}，\frac{3π}{4}]$，
所以$sin（2x-\frac{π}{4}）∈[-\frac{1}{2}，1]$…（5分）
$f（x）={[sin（2x-\frac{π}{4}）-t]^2}-6t+1$（$x∈[\frac{π}{24}，\frac{π}{2}]$）
當(dāng)$t＜-\frac{1}{2}$時，則當(dāng)sin（2x-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{1}{2}$時，${[f（x）]_{min}}={t^2}-5t+\frac{5}{4}$…（6分）
當(dāng)-$\frac{1}{2}$≤t≤1時，則當(dāng)sin（2x-$\frac{π}{4}$）=t時，f（x）_min=-6t+1 …（7分）
當(dāng)t＞1時，則當(dāng)sin（2x-$\frac{π}{4}$）=1時，${[f（x）]_{min}}={t^2}-8t+2$…（8分）
故g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-5t+\frac{5}{4}，t＜-\frac{1}{2}}\\{-6t+1，-\frac{1}{2}≤t≤1}\\{{t}^{2}-8t+2，t＞1}\end{array}\right.$                     …（9分）
（3）當(dāng)$-\frac{1}{2}≤t≤1$時，g（t）=-6t+1，令h（t）=g（t）-kt
欲使g（t）=kt有一個實(shí)根，則只需$\left\{{\begin{array}{l}{h（-\frac{1}{2}）≤0}\\{h（1）≥0}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{h（-\frac{1}{2}）≥0}\\{h（1）≤0}\end{array}}\right.$
解得k≤-8或k≥-5．           …（12分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的最值，考查三角函數(shù)知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．