Question

如圖，平面平面，四邊形為矩形，．為的中點(diǎn)，.（1）求證：；（2）若與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）本小題證明的是線線垂直，把問題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直（線面垂直線線垂直），即證平面，從而有；（2）本小題可從傳統(tǒng)幾何方法及空間向量方法入手，法一：先證，為等邊三角形，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，可證得為二面角的平面角，在三角形FMP中用余弦定理的推論完成求值；法二：利用空間向量解決面面角問題，只需找到這兩個(gè)面的法向量，利用公式完成計(jì)算即可，但要注意本題面面角為鈍二面角.

試題解析：（1）證明：連結(jié)，因，是的中點(diǎn)，故．又因平面平面，故平面，于是．又，所以平面，所以，又因，故平面，所以．

（2）解法一：由（1），得．不妨設(shè)，．因為直線與平面所成的角，故，所以，為等邊三角形．設(shè)，則，分別為，的中點(diǎn)，也是等邊三角形．取的中點(diǎn)，連結(jié)，，則，，所以為二面角的平面角．在中，，，故，即二面角的余弦值為．

解法二：取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)，，則，，，，從而，.

設(shè)平面的法向量為，由，得，可取．同理，可取平面的一個(gè)法向量為 ．于是，易見二面角的平面角與互補(bǔ)，所以二面角的余弦值為．

考點(diǎn)：證明線線垂直問題（線面垂直線線垂直），求二面角的余弦值（可用尋找其二面角的平面角，也可用空間向量知識(shí)完成）.