Question

4．已知函數(shù)f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），若實(shí)數(shù)a，b滿足f（a+2）+f（b）=0，則a+b等于．

Answer 1

分析 推導(dǎo)出f（x）為奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，從側(cè)由實(shí)數(shù)a，b滿足f（a+2）+f（b）=0，得f（a+2）=-f（b）=f（-b），由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又f（-x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-1=-ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}+$x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)，
觀察知函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∵實(shí)數(shù)a，b滿足f（a+2）+f（b）=0，
∴f（a+2）=-f（b）=f（-b），∴a+2=-b，
∴a+b=-2．
故答案為：-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查代數(shù)式求和，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的合理運(yùn)用．