Question

18．過(guò)點(diǎn)M（2，2）的直線與拋物線L：x²=2py相交于不同兩點(diǎn)A，B，若點(diǎn)M恰為線段AB的中點(diǎn)，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． （$\frac{1}{2}$，1）
• C． （1，+∞）
• D． （1，2）

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由于x₁²=2py₁，x₂²=2py₂可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）=2p（y₁-y₂）．再利用斜率計(jì)算公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出pk=2，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵x₁²=2py₁，x₂²=2py₂，
∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）=2p（y₁-y₂）．
又x₁+x₂=2×2，
∴4=2pk，
∴pk=2
又直線方程為y-2=k（x-2），代入x²=2py，可得x²-2pkx+4pk-4p=0，
∴△=4p²k²-16pk+16p＞0，
∴16-32+16p＞0
∴p＞1，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“點(diǎn)差法”、斜率計(jì)算公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．