Question

9．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1•a_n+2ⁿa_n+1=2ⁿ⁺¹a_n（n∈N₊）．
（1）證明：數(shù)列$\{\frac{2^n}{a_n}\}$是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=（2n-1）（n+1）a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1•a_n+2ⁿa_n+1=2ⁿ⁺¹a_n（n∈N₊）．變形$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$+1=$\frac{{2}^{n+1}}{{a}_{n+1}}$，即可證明．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得可得a_n．
（2）b_n=（2n-1）（n+1）a_n=（2n-1）•2ⁿ．再利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1•a_n+2ⁿa_n+1=2ⁿ⁺¹a_n（n∈N₊）．
∴$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$+1=$\frac{{2}^{n+1}}{{a}_{n+1}}$，即$\frac{{2}^{n+1}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$=1．
∴數(shù)列$\{\frac{2^n}{a_n}\}$是等差數(shù)列，公差為1．
∴$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$=2+（n-1）=n+1，可得a_n=$\frac{{2}^{n}}{n+1}$．
（2）解：b_n=（2n-1）（n+1）a_n=（2n-1）•2ⁿ．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ．
∴2S_n=2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴${S_n}=（2n-3）×{2^{n+1}}+6$．

點(diǎn)評 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．