Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=alnx-bx²．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=1處與直線$y=-\frac{1}{2}$相切，求函數(shù)$f（x）在[{\frac{1}{e}，e}]$上的最大值．
（Ⅱ）當(dāng)b=0時，若不等式f（x）≥m+x對所有的$a∈[{0，\frac{3}{2}}]$，x∈（1，e²]都成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出a，b的值，研究閉區(qū)間上的最值問題，先求出函數(shù)的極值，比較極值和端點處的函數(shù)值的大小，最后確定出最大值；
（Ⅱ）當(dāng)b=0時，f（x）=alnx，已知條件轉(zhuǎn)化為即m≤alnx-x對所有的a∈[0，$\frac{3}{2}$]，x∈（1，e²]都成立，令h（a）=alnx-x，則h（a）為一次函數(shù)，則m≤h（a）_min．由單調(diào)性求得最小值，即可得到m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題知f′（x）=$\frac{a}{x}$-2bx，
∵函數(shù)f（x）在x=1處與直線y=-$\frac{1}{2}$相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=a-2b=0\\ f（1）=-b=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴$f（x）=lnx-\frac{1}{2}{x^2}，f'（x）=\frac{1}{x}-x=\frac{{1-{x^2}}}{x}$，
當(dāng)$\frac{1}{e}$≤x≤e時，令f′（x）＞0得$\frac{1}{e}$＜x＜1；
令f′（x）＜0，得1＜x＜e，
∴f（x）在（$\frac{1}{e}$，1]上單調(diào)遞增，在[1，e]上單調(diào)遞減，
∴f（x）max=f（1）=-$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）當(dāng)b=0時，f（x）=alnx，
若不等式f（x）≥m+x對所有的a∈[0，$\frac{3}{2}$]，x∈（1，e2]都成立，
即m≤alnx-x對所有的a∈[0，$\frac{3}{2}$]，x∈（1，e2]都成立，
令h（a）=alnx-x，則h（a）為一次函數(shù)，
∴m≤h（a）_min．
∵x∈（1，e²]，∴l(xiāng)nx＞0，∴h（a）在a∈[0，$\frac{3}{2}$]上單調(diào)遞增，
∴h（a）_min=h（0）=-x，∴m≤-x對所有的x∈（1，e²]都成立．
∵1＜x＜e²，∴-e²≤-x＜-1，
∴m≤（-x）_min=-e²．
則實數(shù)m的取值范圍為（-∞，-e²]．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用，不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，注意運用單調(diào)性，是一道中檔題．