Question

17．已知函數(shù)f（x）=x-$\frac{2a-1}{x}$-2alnx（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=$\frac{1}{2}$處取得極值，求實數(shù)a的值；
（2）若不等式f（x）≥0在[1，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（$\frac{1}{2}$）=0，解出驗證即可；
（2）依題意有：f_min（x，）≥0從而求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，令f′（x）=0，得：x₁=2a-1，x₂=1，通過討論①當(dāng)2a-1≤1即a≤1時②當(dāng)2a-1＞1即a＞1時，進而求出a的范圍

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=1+$\frac{2a-1}{{x}^{2}}$-$\frac{2a}{x}$，
∴f′（$\frac{1}{2}$）=1+4（2a-1）-4a=0，解得：a=$\frac{3}{4}$，
∴a=$\frac{3}{4}$時，f′（x）=$\frac{（x-1）（2x-1）}{{2x}^{2}}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞增，在（$\frac{1}{2}$，1）遞減，
f（x）在x=$\frac{1}{2}$處取得極值，
故a=$\frac{3}{4}$符合題意；
（2）依題意有：f_min（x，）≥0
f′（x）=$\frac{（x-1）[x-（2a-1）]}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，
得：x₁=2a-1，x₂=1，
①當(dāng)2a-1≤1即a≤1時，
函數(shù)f'（x）≥0在[1，+∞）恒成立，
則f（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，
于是f_min（x）=f（1）=2-2a≥0，
解得：a≤1；
②當(dāng)2a-1＞1即a＞1時，
函數(shù)f（x）在[1，2a-1]單調(diào)遞減，在[2a-1，+∞）單調(diào)遞增，
于是f_min（x）=f（2a-1）＜f（1）=2-2a＜0，不合題意，
綜上所述：實數(shù)a的取值范圍是a≤1．

點評 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．