如圖,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD為正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2,E,F(xiàn),G分別是線段PA、PD、CD的中點.
(1)求證:PB∥平面EFG
(2)在線段CD上是否存在一點Q,使得點A到平面EFQ的距離為0.8,若存在,求出CQ的長,若不存在,請說明理由.
考點:點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定
專題:空間位置關系與距離
分析:對第(1)問,設AC∩BD=0,連結(jié)OF,只需證平面EFG外的一條線PB平行于平面內(nèi)的直線OF即可.
對第(2)問,由PA,AB,AD兩兩垂直,以AB,AD,AP分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系,先假設存在滿足題意的點Q(x0,2,0),根據(jù)點A到平面EFQ的距離為0.8,再將此距離轉(zhuǎn)化為向量
AE
在平面EFQ的法向量方向上的射影長,從而得到關于x0的方程,通過解方程即可探求點Q的存在性.
解答: 解:(1)證:連結(jié)AC,設AC∩BD=0,連結(jié)OF,0G,則OG∥BC∥AD∥EF,∴E,F(xiàn),G,O四點共面,
∵OF∥PB,PB?平面EFG,OF?平面EFG,
∴PB∥平面EFG.
(2)由題意易得PA,AB,AD兩兩垂直,以AB,AD,AP分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系,如右圖所示,則點E(0,0,1),F(xiàn)(0,1,1).
假設在線段CD上,存在一點Q(x0,2,0)滿足題意,則
EF
=(0,1,0)
,
EQ
=(x0,2,-1)
,
EA
=(0,0,-1)
.又設平面EFQ的法向量為
u
=(x,y,z)
,則有
u
EF
=0
u
EQ
=0
,即
(x,y,z)•(0,1,0)=0
(x,y,z)•(x0,2,-1)=0

∴y=0,z=x0x.取x=1,得
u
=(1,0,x0)
,則
EA
在平面EFQ的法向量方向上的射影長
|
EA
u
|
|
u
|
=0.8

x02=(
4
5
)2+(
4
5
)2x02
,
又∵x0>0,得x0=
4
3
,∴Q(
4
3
,2,0)
,從而
CQ
=(-
2
3
,0,0)
,
|CQ|=
2
3
,即在線段CD上存在一點Q滿足題意,且CQ的長為
2
3
點評:1.本題考查了線面平行的判定定理,證線面平行的關鍵是:在已知平面內(nèi)找一條線與已知直線平行,即將線面平行問題轉(zhuǎn)化為線線平行問題,而線線平行常根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)或平行四邊形的性質(zhì)得證.
2.若涉及到三條兩兩垂直的直線,可以考慮建立空間直角坐標系.利用向量法求解點到平面距離問題時,一般將此距離轉(zhuǎn)化為該點到平面內(nèi)任意一點連線的向量在該平面法向量方向上的射影長處理.
練習冊系列答案
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2
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3
2
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x2
1+x2
+
y2
1+y2
+
z2
1+z2
=2,求證:
x
1+x2
+
y
1+y2
+
z
1+z2
2

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