Question

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=

1

2

CD=2，PA=2，E是PC的中點(diǎn)．
（1）證明：BE∥平面PAD；
（2）求直線AE與平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間角

分析：（1）取F為DP的中點(diǎn)，連結(jié)AF，EF，由已知條件推導(dǎo)出ABEF是平行四邊形，從而得到BE∥AF，由此能夠證明BE∥平面PAD．
（2）AE交BF于點(diǎn)O，過(guò)A作AM⊥BD，連結(jié)PM，過(guò)A作AN⊥PM，得AN⊥平面BDP，所以∠AON為直線AE與平面PBD所成角，由此能求出AE與平面PBD所成角的正弦值．

解答： （1）證明：取F為DP的中點(diǎn)，連結(jié)AF，EF，則EF

∥

.

1

2

DC，
∵AB∥CD，AD=

1

2

CD，∴AB

∥

.

EF，
∴ABEF是平行四邊形，∴BE∥AF，
∵BE不包含于平面PAD，AF?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
（2）解：∵ABEF為平行四邊形，∴AE交BF于點(diǎn)O，且互相平分，
∵PA⊥底面ABCD，過(guò)A作AM⊥BD，連結(jié)PM，
∵AP⊥BD，AM⊥BD，∴BD⊥平面AMP，
∴平面APM⊥平面BDP，交線為PM，
過(guò)A作AN⊥PM，得AN⊥平面BDP，
∴∠AON為直線AE與平面PBD所成角，
AO=

1

2

AE=

6

2

，AN=

PA•AM

PM

=

2 2

6

=

2 3

3

，
∴tan∠AON=

AN

AO

=

2 3 3

6 2

=

2 2

3

．
∴AE與平面PBD所成角的正弦值為

2 2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．