Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+bx的圖象為曲線E．
（1）若a=3，b=-9，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若曲線E上存在點P，使曲線E在P點處的切線與x軸平行，求a，b的關系．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）若a=3，b=-9，利用函數(shù)的極值和導數(shù)之間的關系即可求函數(shù)f（x）的極值；
（2）求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義即可求出對應的切線方程的斜率，建立方程關系即可得到結論．．

解答： 解：（1）若a=3，b=-9，則f（x）=x³-3x²-9x
∴f′（x）=3x²-6x-9，
則由f′（x）=3x²-6x-9＞0，解得x＞3或x＜-1，此時函數(shù)單調遞增，
由f′（x）=3x²-6x-9＜0，解得-1＜x＜3，此時函數(shù)單調遞減，
∴當x=-1時，函數(shù)f（x）取得極大值f（-1）=5，
當x=3時，函數(shù)f（x）取得極小值f（3）=-27．
（2）∵f（x）=x³-ax²+bx，
∴f′（x）=3x²-2ax+b，
設切點P（x₀，y₀），
則在P點處的切線斜率k=f′（x₀）=3x₀²-2ax₀+b，
∵在P點處的切線與x軸平行，
∴k=f′（x₀）=3x₀²-2ax₀+b=0有兩個解，
則判別式△=4a²-12b≥0，
即a²≥3b．

點評：本題主要考查函數(shù)導數(shù)的幾何意義以及函數(shù)極值和導數(shù)之間的關系，利用導數(shù)的幾何意義是解決本題的關鍵．