Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁C₁=A₁C₁，AC₁⊥A₁B，M，N分別是A₁B₁，AB的中點(diǎn)，求證：
（1）C₁M⊥平面AA₁B₁B；
（2）A₁B⊥AM；
（3）平面AC₁M∥平面B₁NC．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明C₁M⊥平面AA₁B₁B；
（2）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)先證明A₁B⊥平面AC₁M，即可證明A₁B⊥AM；
（3）根據(jù)面面平行的判定定理即可證明平面AC₁M∥平面B₁NC．

解答： 證明：（1）由直棱柱性質(zhì)得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，?
又∵C₁M?平面A₁B₁C₁，∴AA₁⊥MC₁．?
又∵C₁A₁=C₁B₁，M為A₁B₁中點(diǎn)，∴C₁M⊥A₁B₁．?
又A₁B₁∩A₁A=A₁，∴C₁M⊥平面AA₁B₁B．?
（2）∵C₁M⊥平面A₁ABB₁，
A₁B?平面AA₁B₁B，
∴C₁M⊥A₁B，
∵AC₁⊥A₁B，（已知），
C₁M∩AC₁=C₁，
∴A₁B⊥平面AC₁M，
∵AM?平面AC₁M，
∴A₁B⊥AM．
（3）∵M(jìn)、N分別是A₁B₁和AB的中點(diǎn)，
A₁B₁=AB，A₁B₁∥AB，
∴MB₁∥AN，MB₁=AN，
∴四邊形ANB₁M是平行四邊形，
∴B₁N∥AM，
∵M(jìn)、N分別是A₁B₁和AB的中點(diǎn)，
∴C₁M∥CN，
∵C₁M∩AM=M，CN∩NB=N，
∴平面AMC₁∥平面NB₁C

點(diǎn)評：本題主要考查空間直線和平面，平面和平面平行或垂直的判定，根據(jù)相應(yīng)的判定定理是解決本題的關(guān)鍵．