Question

2．矩形ABCD中，AB=2，AD=1，P為矩形內(nèi)部一點(diǎn)，且AP=1．設(shè)∠PAB=θ，$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$（λ，μ∈R），則2λ+$\sqrt{3}$μ取得最大值時(shí)，角θ的值為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 可作出圖形，根據(jù)題意可知λ，μ＞0，根據(jù)條件對$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$兩邊平方，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算化簡，利用三角代換以及兩角和與差的三角函數(shù)，從而便可得出2λ+$\sqrt{3}$μ的最大值．

解答 解：如圖，依題意知，λ＞0，μ＞0；
根據(jù)條件，
1=$\overrightarrow{AP}$²=λ²$\overrightarrow{AB}$²+2λμ$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$+μ²$\overrightarrow{AD}$²
=4λ²+μ²．令λ=$\frac{1}{2}cosθ$，μ=sinθ．
∴2λ+$\sqrt{3}$μ=cosθ+$\sqrt{3}$sinθ=2sin（θ+$\frac{π}{6}$）≤2；
∴2λ+$\sqrt{3}$μ的最大值為：2．此時(shí)θ=$\frac{π}{3}$
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評 考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，以及配方法的應(yīng)用，三角代換的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．