12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，過橢圓C的左焦點(diǎn)且傾角為60°的直線與圓x2+y2=a2相交，所得弦的長度為$\sqrt{7}$，求橢圓C的方程．

分析 運(yùn)用橢圓的離心率公式和直線和圓相交的弦長公式，解方程可得a，b，c，進(jìn)而得到橢圓方程．

解答 解：由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
橢圓C的左焦點(diǎn)（-c，0）且傾斜角為60°的直線方程為y=$\sqrt{3}$（x+c），
圓心到直線的距離為d=$\frac{\sqrt{3}c}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{\sqrt{3}c}{2}$，
由圓的弦長公式可得$\sqrt{7}$=2$\sqrt{{a}^{2}-\frac{3}{4}{c}^{2}}$，
解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
即有橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和圓的弦長公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．

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（1）求軌跡E的方程；
（2）設(shè)直線l1：y=k1x+1與軌跡E交于A、B兩點(diǎn)，若在y軸上存在一點(diǎn)Q，使y軸為∠AQB的角平分線，求Q點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）是否存在不過T（0，1）且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l2與軌跡E及圓T：x2+（y-1）2=9從左到右依次交于C，D，F(xiàn)，G四點(diǎn)，且$\overrightarrow{TD}$-$\overrightarrow{TC}$=$\overrightarrow{TG}$-$\overrightarrow{TF}$？若存在，求l2的斜率的取值范圍；若不存在，說明理由．

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（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線與圓的相交弦長|AB|．

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（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若$\overrightarrow{MA}$-λ1$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{MB}$-λ2$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{0}$，求證：$\frac{1}{2}$（λ1+λ2）為定值．

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（1）求橢圓C的方程；
（2）過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)（A，B不是橢圓C的頂點(diǎn)），點(diǎn)D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線BD與x軸y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)直線BD，AM斜率分別為k1，k2，證明存在常數(shù)λ使得k1=λk2，并求出λ的值．

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