Question

1．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，P、Q分別是線段AD₁和BD上的點，且D₁P：PA=DQ：QB=5：12．
（Ⅰ）求證PQ∥平面CDD₁C₁；
（Ⅱ）求證PQ⊥AD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）平面ADD₁A₁內(nèi)，作PP₁∥AD，與DD₁交于點P₁，平面ABCD內(nèi)，作QQ₁∥BC，交CD于點Q₁，連接P₁Q₁；證明PQ∥P₁Q₁，得出PQ∥平面CDD₁C₁；
（Ⅱ）證明AD⊥平面D₁DCC₁，得出AD⊥P₁Q₁，從而證明AD⊥PQ．

解答 解：（Ⅰ）如圖所示，
在平面ADD₁A₁內(nèi)，作PP₁∥AD，與DD₁交于點P₁，
在平面ABCD內(nèi)，作QQ₁∥BC，交CD于點Q₁，連接P₁Q₁；
∵D₁P：PA=DQ：QB=5：12，
∴PP₁∥QQ₁，且PP₁=QQ₁；
∴四邊形PQQ₁P₁為平行四邊形，
∴PQ∥P₁Q₁；
又P₁Q₁?平面CDD₁C₁，
∴PQ∥平面CDD₁C₁；（6分）
（Ⅱ）∵AD⊥DC，AD⊥DD₁，
且DC∩DD₁=D，DC?平面D₁DCC₁，DD₁?平面D₁DCC₁，
∴AD⊥平面D₁DCC₁，
又P₁Q₁?平面D₁DCC₁，
∴AD⊥P₁Q₁，
又∵PQ∥P₁Q₁，
∴AD⊥PQ．…（13分）

點評 本題考查了空間中的線面平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了空間想象與邏輯推理能力，是綜合性題目．