Question

2．已知集合A={（x，y）||x|+|y|=a，a＞0}，B={（x，y）||xy|+1=|x|+|y|}．若A∩B是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合，則a的值為$\sqrt{2}$或2+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)曲線性質(zhì)求出集合A，B對(duì)應(yīng)的圖象，結(jié)合兩角和差的正切公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：A={（x，y）||x|+|y|=a，a＞0}，
x≥0，y≥0時(shí)，即x+y=a表示在第一象限內(nèi)的線段
將x，y分別換成-x，-y方程不變，因此
|x|+|y|=a關(guān)于x軸對(duì)稱，也關(guān)于y軸對(duì)稱
那么，集合A={（x，y）||x|+|y|=a，a＞0}
表示點(diǎn)集為正方形，
∵|xy|+1=|x|+|y|
∴|xy|-|x|-|y|+1=0
即（|x|-1）（|y|-1）=0
∴|x|=1或|y|=1
即x=±1，y=±1
B={（x，y）|x=±1，或x=±1}，表示2組平行線，
A∩B為8個(gè)點(diǎn)，構(gòu)成正八邊形
①如圖1，∠AOB=45°
又A（1，a-1）
∴tan∠x(chóng)OA=a-1
tan∠AOB=tan2∠x(chóng)OA=$\frac{2tan∠x(chóng)OA}{1-ta{n}^{2}∠x(chóng)OA}$=$\frac{2（a-1）}{1-（a-1）^{2}}=\frac{2a-2}{2a-{a}^{2}}$=1，
即2a-2=2a-a²，
∴a²=2
∵a＞0，∴a=$\sqrt{2}$
②如圖2，∠AOB=45°
又A（a-1，1）
∴tan∠x(chóng)OA=$\frac{1}{a-1}$，
tan∠AOB=tan2∠x(chóng)OA=$\frac{2tan∠x(chóng)OA}{1-ta{n}^{2}∠x(chóng)OA}$=$\frac{\frac{2}{a-1}}{1-（\frac{1}{a-1}）^{2}}$=$\frac{2（a-1）}{（a-1）^{2}-1}$=1，
即2a-2=-2a+a²，
∴a²-4a+2=0，
解得a=2+$\sqrt{2}$或a=2-$\sqrt{2}$（舍），
綜上a=$\sqrt{2}$或a=2+$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$或2+$\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查集合的基本運(yùn)算，利用曲線的軌跡，結(jié)合兩角和差的正切公式是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．