Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₂=

1

8

，且對任意的n∈N^*，滿足a_n+2-a_n≤3ⁿ，a_n+4-a_n≥10×3ⁿ，則a₂₀₁₄=

91007-8

8

．

Answer 1

分析：由a_n+2-a_n≤3ⁿ，可得a_2n=（a_2n-a_2n-2）+（a_2n-2-a_2n-4）+…+（a₄-a₂）+a₂≤3^2（n-1）+3^2（n-2）+…+3²+

1

8

，同理由a_n+4-a_n≥10×3ⁿ，可得a_4n+2=（a_4n+2-a_4n-2）+（a_4n-2-a_4n-6）+…+（a₆-a₂）≥10×3^4n-2+10×3^4n-6+…+10×3²+

1

8

，利用“累加求和”和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答：解：由a_n+2-a_n≤3ⁿ，可得a_2n=（a_2n-a_2n-2）+（a_2n-2-a_2n-4）+…+（a₄-a₂）+a₂≤3^2（n-1）+3^2（n-2）+…+3²+

1

8

=

9(9n-1-1)

9-1

+

1

8

=

9n-8

8

．
∴a₂₀₁₄=a_2×1007≤

91007-8

8

．①
由a_n+4-a_n≥10×3ⁿ，可得a_4n+2=（a_4n+2-a_4n-2）+（a_4n-2-a_4n-6）+…+（a₆-a₂）≥10×3^4n-2+10×3^4n-6+…+10×3²+

1

8

=10×

32[(34)n-1]

34-1

+

1

8

=

9(92n-1)

8

+

1

8

．
∴a₂₀₁₄=a_4×503+2≥

91007-1

8

，②
由①②可得：a2014=

91007-8

8

．
故答案為

91007-8

8

．

點(diǎn)評：通過變形利用“夾逼法”找到a₂₀₁₄滿足的條件及熟練掌握“累加求和”和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是解題的關(guān)鍵．