Question

如圖1­2，在正方體ABCD ­ A₁B₁C₁D₁中，點O為線段BD的中點，設點P在線段CC₁上，直線OP與平面A₁BD所成的角為α，則sin α的取值范圍是(　　)

圖1­2

Answer 1

B　[解析] 連接A₁O，OP和PA₁，不難知∠POA₁就是直線OP與平面A₁BD所成的角(或其補角)設正方體棱長為2，則A₁O＝.

(1)當P點與C點重合時，PO＝，A₁P＝2，且cos α＝＝－，此時α＝∠A₁OP為鈍角，sin α＝＝；

(2)當P點與C₁點重合時，PO＝A₁O＝，A₁P＝2，且cos  α＝＝，此時α＝∠A₁OP為銳角，sin α＝＝；

(3)在α從鈍角到銳角逐漸變化的過程中，CC₁上一定存在一點P，使得α＝∠A₁OP＝90°.又因為＜，故sin α的取值范圍是，故選B.