Question

3．已知函數(shù)f（x）=2015^x-log₂₀₁₅（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）-2015^-x+2，則關(guān)于x的不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集為（-$\frac{1}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 可先設(shè)g（x）=$201{5}^{x}-lo{g}_{2015}（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）-201{5}^{-x}$，根據(jù)要求的不等式，可以想著判斷g（x）的奇偶性及其單調(diào)性：容易求出g（-x）=-g（x），通過求g′（x），并判斷其符號(hào)可判斷其單調(diào)性，從而原不等式可變成，g（3x+1）＞g（-x），而根據(jù)g（x）的單調(diào)性即可得到關(guān)于x的一元一次不等式，解該不等式即得原不等式的解．

解答 解：設(shè)g（x）=$201{5}^{x}-lo{g}_{2015}（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）-201{5}^{-x}$；
g（-x）=$201{5}^{-x}+lo{g}_{2015}（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）-201{5}^{x}$=-g（x）；
g′（x）=$201{5}^{x}ln2015+\frac{\sqrt{{x}^{2}+1}-x}{（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）•\sqrt{{x}^{2}+1}•ln2015}$+2015^-xln2015＞0；
∴g（x）在R上單調(diào)遞增；
∴由f（3x+1）+f（x）＞4得，g（3x+1）+2+g（x）+2＞4；
∴g（3x+1）＞g（-x）；
∴3x+1＞-x；
解得x$＞-\frac{1}{4}$；
∴原不等式的解集為$（-\frac{1}{4}，+∞）$．
故答案為：（$-\frac{1}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，平方差公式，奇函數(shù)的判斷方法，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，函數(shù)單調(diào)性定義的運(yùn)用，并注意正確求導(dǎo)．