Question

11．△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，且tanA+tanB+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$tanAtanB．
（1）求∠C；
（2）若c=$\frac{7}{2}$，△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）運用兩角和的正切公式和誘導(dǎo)公式，可得C的值；
（2）運用余弦定理和三角形的面積公式，結(jié)合配方思想，即可得到a+b的值．

解答 解：（1）tanA+tanB+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$tanAtanB，
即為tanA+tanB=$\sqrt{3}$（tanAtanB-1），
tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{\sqrt{3}（tanAtanB-1）}{1-tanAtanB}$=-$\sqrt{3}$，
即有tanC=-tan（A+B）=$\sqrt{3}$，（0＜∠C＜π），
則∠C=$\frac{π}{3}$；
（2）由余弦定理可得，c²=a²+b²-2abcosC，
即為a²+b²-ab=$\frac{49}{4}$，即有（a+b）²=3ab+$\frac{49}{4}$，
由S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
即有ab=6，
則（a+b）²=18+$\frac{49}{4}$=$\frac{121}{4}$，
即有a+b=$\frac{11}{2}$．

點評 本題主要考查余弦定理和面積公式的運用，同時考查兩角和的正切公式和誘導(dǎo)公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．