若函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d是奇函數(shù)，且當(dāng)x=-
3
3
時(shí)，f（x）取得極小值-
2
3
9
．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)g(x)=
f(x)
x2
，若不等式g(x)＞-
k
2
-1在（0，2k）上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，得出b，d的值，再求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)在x=-
3
3
處的有極值得出在x=1處的導(dǎo)數(shù)為0，求出a，c的值；
（2）問題等價(jià)于g(x)min＞-
k
2
-1，利用導(dǎo)數(shù)可求，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解不等式．
解答：解：（1）由題意b=d=0，f′（x）=3ax2+c，又當(dāng)x=-
3
3
時(shí)，f（x）取得極小值-
2
3
9
，
∴
a+c=0
-
3
9
a-
3
3
c=-
2
3
9
，∴a=-1，c=1，∴f（x）=x-x3；
（2）g(x)=
1
x2
-x，從而函數(shù)在（0，2k）為單調(diào)減函數(shù)，所以
1
4k2
-2k＞-
k
2
-1，∴k∈（0，1]
點(diǎn)評(píng)：該題考查函數(shù)的求導(dǎo)，考查函數(shù)的奇偶性對(duì)應(yīng)的函數(shù)求項(xiàng)的系數(shù)，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，從而解決恒成立問題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

①命題“對(duì)任意的x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是“存在x∈R，x3-x2+1＞0”；
②函數(shù)f（x）=2x-x2的零點(diǎn)有2個(gè)；
③若函數(shù)f（x）=x2-|x+a|為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=0；
④函數(shù)y=sinx（x∈[-π，π]）圖象與x軸圍成的圖形的面積是S=
∫
x
-x
sinxdx；
⑤若函數(shù)f（x）=
ax-5(x＞6)
(4-
a
2
)x+4(x≤6)
，在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（1，8）．
其中真命題的序號(hào)是
①③
①③
（寫出所有正確命題的編號(hào)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于函數(shù)f（x），其定義域?yàn)镈，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（
x1+x2
2
）＞
1
2
[f（x1）+f（x2）]，則稱f（x）為定義域上的凸函數(shù)．
（1）設(shè)f（x）=ax2（a＞0），試判斷f（x）是否為其定義域上的凸函數(shù)，并說明原因；
（2）若函數(shù)f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）為其定義域上的凸函數(shù)，試求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=ax（a＞0，a≠1）的反函數(shù)記為y=g（x），g（16）=2，則f(
12
)=
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=ax-2+2010（a＞0且a≠1）恒過一定點(diǎn)，此定點(diǎn)坐標(biāo)為
（2，2011）
（2，2011）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•盧灣區(qū)一模）若函數(shù)f（x）=ax+b的零點(diǎn)為x=2，則函數(shù)g（x）=bx2-ax的零點(diǎn)是x=0和x=
-
1
2
-
1
2
．

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