Question

已知函數(shù)f（x）=x•lnx（e為無理數(shù)，e≈2.718）

（1）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程；

（2）設(shè)實(shí)數(shù)a＞，求函數(shù)f（x）在[a，2a]上的最小值；

（3）若k為正數(shù)，且f（x）＞（k﹣1）x﹣k對任意x＞1恒成立，求k的最大值．

 

Answer 1

（1）y=2x-e；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（3）3

【解析】

試題分析：⑴定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720160205017338/SYS201411172016146912323595_DA/SYS201411172016146912323595_DA.005.png">，，，切線方程為y=2x-e；

（2），令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.，當(dāng)時(shí)，在[a，2a]上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，得，；(3) 對任意恒成立，即對任意恒成立，令令，，h（x）在上單調(diào)遞增，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720160205017338/SYS201411172016146912323595_DA/SYS201411172016146912323595_DA.026.png">，所以存在唯一零點(diǎn)，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因此在時(shí)單調(diào)遞減；在時(shí)，單調(diào)遞增；所以由題意，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720160205017338/SYS201411172016146912323595_DA/SYS201411172016146912323595_DA.038.png">，所以k的最大值是3.

試題解析：⑴∵

（2）∵時(shí)，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.

當(dāng)

(3) 對任意恒成立，

即對任意恒成立， 即對任意恒成立

令

令在上單調(diào)遞增。

∵

∴所以存在唯一零點(diǎn)，即。

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

∴在時(shí)單調(diào)遞減；在時(shí)，單調(diào)遞增；

∴

由題意，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720160205017338/SYS201411172016146912323595_DA/SYS201411172016146912323595_DA.038.png">，所以k的最大值是3

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)與切線方程；2.導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性；3.導(dǎo)數(shù)與最值