Question

4．已知集合D={x|$\frac{24-x}{x-9}$＞0}，若a，b∈D，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$=$\frac{1}{12}$，則9^a•3^b的最小值為3⁵⁴．

Answer 1

分析 由$\frac{24-x}{x-9}$＞0，化為一元二次不等式，解得9＜x＜24．由于a，b∈D且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$=$\frac{1}{12}$，可得12＜b＜24，變形2a+b=$\frac{24b}{b-6}$+b=30+$\frac{144}{b-6}$+（b-6），利用基本不等式的性質可得2a+b的取值范圍，即可得出9^a•3^b=3^2a+b的最小值．

解答 解：由$\frac{24-x}{x-9}$＞0，化為（x-9）（x-24）＜0，解得9＜x＜24．
∵a，b∈D且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$=$\frac{1}{12}$，
∴9＜a=$\frac{12b}{b-6}$＜24，
∴12＜b＜24，
∴2a+b=$\frac{24b}{b-6}$+b=30+$\frac{144}{b-6}$+（b-6）≥30+2 $\sqrt{\frac{144}{b-6}•（b-6）}$=54，
當且僅當b=18時取等號．
則9^a•3^b=3^2a+b≥3⁵⁴．
故答案為：3⁵⁴．

點評 本題考查了分式不等式與一元二次不等式的解法、基本不等式的性質、指數運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．