Question

我們用a_ij（1≤i≤n，1≤j≤n，i，j，n∈N^*）表示矩陣的第i行第j列元素，已知該矩陣的每一行每一列都是等差數(shù)列，并且a₁₁=1，a₁₂=a₂₁=2，a₂₂=4．
（1）求a₅₄．
（2）求a_ij關于i，j的關系式；
（3）設行列式

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a23 a24 a25 a33 a34 a35 a43 a44 a45

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=D，求證：對任意1≤i，j≤n-2，i，j，n∈N^*時，都有

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aij ai(j+1) ai(j+2) a(i+1)j a(i+1)(j+1) a(i+1)(j+2) a(i+2)j a(i+2)(j+1) a(i+2)(j+2)

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=D．

Answer 1

考點：幾種特殊的矩陣變換

專題：計算題,證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,矩陣和變換

分析：由題意可得，矩陣中第一行的公差為1，第二行的公差為2，從而第三行的公差為3，即有第i行的公差為i，
則有第一列的公差為1，第二列的公差為2，從而第j列的公差為j，再由等差數(shù)列的通項公式，即可得到
a_ij=a_i1+（j-1）i=a₁₁+（i-1）+（j-1）i=1+i-1+ij-i=ij，即可得到（1）、（2），再由行列式的性質和計算即可得到（3）的證明．

解答： 解：由于該矩陣的每一行每一列都是等差數(shù)列，并且a₁₁=1，a₁₂=a₂₁=2，a₂₂=4，
則矩陣中第一行的公差為1，第二行的公差為2，從而第三行的公差為3，即有第i行的公差為i，
則有第一列的公差為1，第二列的公差為2，從而第j列的公差為j，
則由等差數(shù)列的通項公式，即可得到，a_ij=a_i1+（j-1）i=a₁₁+（i-1）+（j-1）i=1+i-1+ij-i=ij，
則（1）a₅₄=5×4=20，
（2）a_ij=ij，
（3）證明：由于行列式

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a23 a24 a25 a33 a34 a35 a43 a44 a45

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=

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6 8 10 9 12 15 12 16 20

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=24

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3 4 5 3 4 5 3 4 5

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=0，
即有D=0，
則

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aij ai(j+1) ai(j+2) a(i+1)j a(i+1)(j+1) a(i+1)(j+2) a(i+2)j a(i+2)(j+1) a(i+2)(j+2)

.

=

.

ij i(j+1) i(j+2) (i+1)j (i+1)(j+1) (i+1)(j+2) (i+2)j (i+2)(j+1) (i+2)(j+2)

.

=

.

ij i(j+1) i(j+2) j j+1 j+2 2j 2(j+1) 2(j+2)

.

=0=D，
故對任意1≤i，j≤n-2，i，j，n∈N^*時，都有

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aij ai(j+1) ai(j+2) a(i+1)j a(i+1)(j+1) a(i+1)(j+2) a(i+2)j a(i+2)(j+1) a(i+2)(j+2)

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=D．

點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式和運用，考查三階行列式的計算，屬于中檔題．