Question

已知圓x²+y²=9，從這個圓上任一點P向x軸作垂線PP′，點P′為垂足，點M在PP′上，并且

PM

=

1

2

MP′

．
（1）求點M的軌跡．
（2）若F1(-

5

，0)，F2(

5

，0)求|MF₁||MF₂|的最大值．

Answer 1

分析：（1）設P（m，n），則P'（m，0）．設M（x，y），利用題中的向量等式算出P（x，

3

2

y），再將P的坐標代入x²+y²=9，化簡即可得出點M的軌跡方程．
（2）由（1）的結論，得到點M的軌跡是以F₁、F₂為焦點的橢圓．再利用橢圓的定義與基本不等式加以計算，可得|MF₁||MF₂|的最大值．

解答：解：（1）根據(jù)題意，設P（m，n），
則P'（m，0），
設M（x，y），由

PM

=

1

2

MP′

可得

x=m y= 2 3 n

，即

m=x n= 3 2 y

將P（x，

3

2

y）代入x²+y²=9，可得x²+（

3

2

y）²=9，
化簡得

x2

9

+

y2

4

=1，即為點M的軌跡方程．
（2）由（1）得M的軌跡方程

x2

9

+

y2

4

=1，c=

a2-b2

=

5

．
∴點M的軌跡是以F1(-

5

，0)，F2(

5

，0)為焦點的橢圓．
根據(jù)橢圓的定義，可得|MF₁|+|MF₂|2a=6，
∴|MF₁||MF₂|≤（

|MF1|+|MF2|

2

）²=9，
當且僅當|MF₁|=|MF₂|=3時，|MF₁||MF₂|的最大值為9．

點評：本題給出圓上的動點滿足的條件，求點M的軌跡方程并依此求|MF₁||MF₂|的最大值．著重考查了橢圓的定義與標準方程、向量的坐標運算和運用基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．