Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ln（ex）}{x}$，g（x）=$\frac{k}{x+1}$（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當x≥1時，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別解不等式f′（x）＞0及f′（x）＜0即得單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）不等式f（x）≥g（x）變形后等價于不等式k≤$（1+\frac{1}{x}）（1+lnx）$=h（x） （x≥1），故只需判斷出函數(shù)h（x）的單調(diào)性，解不等式k≤h（x）_min即可得k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=$\frac{1-lnex}{{x}^{2}}$=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0得0＜x＜1；
由f′（x）＜0得x＞1；
所以函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（0，1），單調(diào)減區(qū)間為：（1，+∞）；
（Ⅱ）不等式f（x）≥g（x）恒成立
?不等式$\frac{1+lnx}{x}≥\frac{k}{x+1}$恒成立
?不等式$k≤\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$恒成立，
令h（x）=$\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$=$（1+\frac{1}{x}）（1+lnx）$ （x≥1），則k≤h（x）_min，
因為$h′（x）=\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$，記φ（x）=x-lnx （x≥1），則h′（x）與φ（x）同號，
∵φ′（x）=$\frac{x-1}{x}$≥0 （當且僅當x=1時取等號），∴φ（x）在[1，+∞）上遞增，
所以φ（x）≥φ（1）=1＞0，即h′（x）＞0，
所以h（x）在[1，+∞）上遞增，
所以h（x）_min=h（1）=2，從而k≤2．

點評 本題利用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間以及解不等式，通過合理的變形判斷出單調(diào)性是解題的關鍵，屬于中檔題．