Question

17．直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\sqrt{3}t\\ y=t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點O為極點，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，直線l與曲線C的公共點為M．
（Ⅰ）求點M的極坐標(biāo)；
（Ⅱ）經(jīng)過M點的直線l'被曲線C截得的線段長為2，求直線l'的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （I）求出曲線C的直角坐標(biāo)方程，然后求解點M的坐標(biāo)為$（1，\sqrt{3}）$，轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)．
（II）設(shè)直線l'的方程，求出曲線C的圓心，且圓心到直線l'的距離為$\sqrt{3}$，列出方程，即可求解k，得到直線方程．然后轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程．

解答 解：（I）曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²-4x+y²=0，
將$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\sqrt{3}t\\ y=t\end{array}\right.$代入上式并整理得${t^2}-2\sqrt{3}t+3=0$，解得$t=\sqrt{3}$，
∴點M的坐標(biāo)為$（1，\sqrt{3}）$，其極坐標(biāo)為$（2，\frac{π}{3}）$；…（5分）
（II）設(shè)直線l'的方程為$y-\sqrt{3}=k（x-1），即kx-y+\sqrt{3}-k=0$，
由（I）得曲線C是以（2，0）為圓心的圓，且圓心到直線l'的距離為$\sqrt{3}$，
則，$\frac{{|{\sqrt{3}+k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{3}$．解得k=0，或$k=\sqrt{3}$，
直線l'的方程為$y=\sqrt{3}$，或$y=\sqrt{3}x$，
其極坐標(biāo)方程為$ρsinθ=\sqrt{3}或θ=\frac{π}{3}$（ρ∈R）． …（10分）

點評 本題考查極坐標(biāo)以及成都房產(chǎn)與直角坐標(biāo)方程的互化，基本知識的考查．