Question

9．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a=x，b=2，B=45°，如果解三角形有且只有一個(gè)解，則x的取值范圍是（0，2]∪{2$\sqrt{2}$}．

Answer 1

分析 由B的度數(shù)求出sinB的值，再由b的值，利用正弦定理得出a與sinA的關(guān)系式，同時(shí)由B的度數(shù)求出A+C的度數(shù)，再根據(jù)三角形只有一解，可得A只有一個(gè)值，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到A的范圍，且當(dāng)A為直角時(shí)，也滿足題意，進(jìn)而由A的范圍，求出正弦函數(shù)的值域，根據(jù)a與sinA的關(guān)系式，由正弦函數(shù)的值域即可可得出a的范圍．

解答 解：∵B=45°，b=2，
根據(jù)正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$=2$\sqrt{2}$，
∴a=2$\sqrt{2}$sinA，
又A+C=180°-45°=135°，且三角形只一解，可得A有一個(gè)值，
∴0＜A≤45°，
又A=90°時(shí)，三角形也只有一解，
∴0＜sinA≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或sinA=1，
又a=2$\sqrt{2}$sinA，
∴a的取值范圍為（0，2]∪{2$\sqrt{2}$}．
故答案為：（0，2]∪{2$\sqrt{2}$}．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：正弦定理，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正弦函數(shù)的定義域和值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，考查了學(xué)生綜合分析問題及基本運(yùn)算的能力，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．