Question

設數(shù)列{3^n-1a_n}的前n項和為S_n，且Sn=

n

3

，a∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=

n

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由已知條件得到S_n=a1+3a2+32a3+…+3n-1an=

n

3

，求出S_n-1的表達式，兩式相減能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（II） 由（Ⅰ）得 bn=n•3n，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（I）∵數(shù)列{3^n-1a_n}的前n項和為S_n，且Sn=

n

3

，a∈N^*，
∴S_n=a1+3a2+32a3+…+3n-1an=

n

3

，①
S_n-1=a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=

n-1

3

(n≥2)，②
①-②得3n-1an=

n

3

-

n-1

3

=

1

3

(n≥2)．
∴an=

1

3n

(n≥2)．…（4分）
經驗證n=1時也滿足上式，
∴an=

1

3n

(n∈N*)．…（6分）
（II） 由（1）得 bn=n•3n，
Tn=1•3+2•32+3•33+…+n•3n，
3T_n=1•3²+2•3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，
兩式相減得-2Tn=3+32+33+3n-n•3n+1，…（8分）
∴-2Tn=

3-3n+1

1-3

-n•3n+1
=

3n+1-3

2

-n•3ⁿ⁺¹，
∴Tn=

n

2

•3n+1-

1

4

•3n+1+

3

4

•…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．