Question

6．已知函數(shù)f（x）=sin（x+φ）cosx的圖象關于原點O（0，0）對稱，試求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析 先根據(jù)f（x）的圖象關于原點對稱得到f（x）=-f（-x），再由兩角和與差的正弦公式展開化簡，即可得解函數(shù)的解析式．

解答 解：∵f（x）的圖象關于原點對稱，∴f（x）=-f（-x）恒成立，
即sin（x+φ）cosx=-sin（-x+φ）cos（-x）恒成立．
∴cosx[sin（x+φ）-sin（x-φ）]=0恒成立，
∴2cos²xsinφ=0恒成立．
∴sinφ=0，∴φ=kπ（k∈Z），
∴f（x）=sin（x+kπ）cosx=±$\frac{1}{2}$sin2x，（k∈Z）．

點評 本題考查了三角形函數(shù)的性質，以及函數(shù)的奇偶性，屬于基礎題．