Question

18．已知函數(shù)y=g（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（4，5），且在R上單調(diào)遞增．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{g}^{-1}（x+2）（x≥3）}\\{（a-1）x+1（x＜3）}\end{array}\right.$存在反函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由互為反函數(shù)的兩函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，可得g^-1（x）遞增，g^-1（x+2）遞增，由反函數(shù)存在的條件可得，f（x）在R上遞增，則a-1＞0，①，4≥3（a-1）+1，即a≤2，②，求出它們的交集，即可得到所求范圍．

解答 解：由互為反函數(shù)的兩函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，
可得函數(shù)g^-1（x）與g（x）的單調(diào)性相同，可得g^-1（x）遞增，
由平移不改變單調(diào)性，可得g^-1（x+2）遞增，
由函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{g}^{-1}（x+2）（x≥3）}\\{（a-1）x+1（x＜3）}\end{array}\right.$存在反函數(shù)，
可得f（x）在R上遞增，則a-1＞0，①
又g（4）=5，可得g^-1（5）=4，則4≥3（a-1）+1，即a≤2，②
由①②可得a的范圍是1＜a≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查互為反函數(shù)的圖象的特點(diǎn)，以及存在反函數(shù)的條件，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．