Question

已知二項式（

x

-

1

3 x

）⁵展開式中的常數(shù)項為p，且函數(shù)f（x）=

1-x2 ，-1≤x≤0 3x2- p 10 ，0＜x≤1

，則

∫

1 -1

f（x）dx=

 

．

Answer 1

考點：二項式定理的應用,定積分

專題：二項式定理

分析：利用二項式展開式定理的知識先求出p，然后利用分段函數(shù)的積分公式求積分即可．

解答： 解：二項式（

x

-

1

3 x

）⁵展開式的通項公式為T_k+1=

C

k 5

（

x

）^5-k•（-

1

3 x

）^k=

C

k 5

（-1）^k•x

5-k

2

-

k

3

，
令

5-k

2

-

k

3

=0，即5k=15，
解得k=3，
∴常數(shù)項p=

C

3 5

×（-1）³=-10，
∴則

∫

1 -1

f（x）dx=

∫

0 -1

1-x2

dx+

∫

1 0

(3x2+1)dx，
∵

∫

0 -1

1-x2

dx的幾何意義為半徑為1的圓的面積的

1

4

，
∴

∫

0 -1

1-x2

dx=

π

4

，
∴

∫

1 -1

f（x）dx=

∫

0 -1

1-x2

dx+

∫

1 0

(3x2+1)dx=

π

4

+（x³+x）

|

1 0

=

π

4

+1+1=2+

π

4

，
故答案為：2+

π

4

．

點評：本題主要考查二項式定義的應用，積分的計算，要求熟練掌握積分的幾何意義以及常見函數(shù)的積分公式，考查學生的運算能力．