Question

已知函數y=x²+2ax+1，當0≤x≤2時該函數的值域為

 

．

Answer 1

考點：函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：可知y=x²+2ax+1的圖象開口向上，對稱軸為x=-a，分類討論可得．

解答： 解：y=x²+2ax+1的圖象開口向上，對稱軸為x=-a，
①當-a＜0，即a＞0時，y=x²+2ax+1在[0，2]上單調遞增，
由二次函數可知y_min=1，y_max=5+4a，
∴函數的值域為[1，5+4a]；
②當-a＞2即a＜-2時，函數在[0，2]上單調遞減，
由二次函數可知y_min=5+4a，y_max=1，
∴函數的值域為[5+4a，1]；
③當0≤-a≤1即-1≤a≤0時，y=x²+2ax+1在[0，-a]上單調遞減，在[-a，2]上單調遞增，
y_min=a²-2a×a+1=1-a²，y_max=5+4a，
此時函數的值域為[1-a²，5+4a]；
④當1＜-a≤2，即-2≤a＜-1時，y=x²+2ax+1在[0，a]上單調遞減，在[a，2]上單調遞增，
y_min=a²-2a×a+1=1-a²，y_max=1，
此時函數的值域為[1-a²，1]；
故答案為：當a＞0時，函數的值域為[1，5+4a]，
當a＜-2時，函數的值域為[5+4a，1]；
當-1≤a≤0時，函數的值域為[1-a²，5+4a]；
當-2≤a＜-1時，函數的值域為[1-a²，1]．

點評：本題考查函數的值域，涉及分類討論的思想，屬中檔題．