Question

已知甲盒中有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙盒中有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，將甲、乙兩盒任意交換一個(gè)球．
（Ⅰ）求交換后甲盒恰有2個(gè)紅球的概率；
（Ⅱ）求交換后甲盒紅球數(shù)ξ的分布列及期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）甲乙兩盒交換一個(gè)球后，甲盒恰有2個(gè)紅球有下面2種情況：①交換的是紅球，此時(shí)甲盒恰有2個(gè)紅球的時(shí)間記為A₁，②交換的是白球，此時(shí)甲盒恰有2個(gè)紅球的事件記為A₂，由此能求出甲盒恰有2個(gè)紅球的概率．（Ⅱ）由題意知ξ=1，2，3，分別求出相應(yīng)在的概率，由此能求出交換后甲盒紅球數(shù)ξ的分布列及期望．

解答： 解：（I）甲乙兩盒交換一個(gè)球后，
甲盒恰有2個(gè)紅球有下面2種情況：
①交換的是紅球，此時(shí)甲盒恰有2個(gè)紅球的時(shí)間記為A₁，
則P(A1)=

C 1 2 • C 1 2

C 1 4 • C 1 5

=

1

5

②交換的是白球，此時(shí)甲盒恰有2個(gè)紅球的事件記為A₂，
則P(A2)=

C 1 2 • C 1 3

C 1 4 • C 1 5

=

3

10

故甲盒恰有2個(gè)紅球的概率P=P(A1)+P(A2)=

1

5

+

3

10

=

1

2

（Ⅱ）設(shè)交換后甲盒紅球數(shù)為ξ，由題意知ξ=1，2，3，
則P(ξ=1)=

C 1 2 • C 1 3

C 1 4 • C 1 5

=

3

10

，
P(ξ=2)=

1

2

，
P(ξ=3)=

C 1 2 • C 1 2

C 1 4 • C 1 5

=

1

5

因而ξ的分布列為

ξ	1	2	3
P	3 10	1 2	1 5

Eξ=

3

10

×1+

1

2

×2+

1

5

×3=

19

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．