【題目】如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點，點在對角線上運動.當的面積取得最小值時，點的位置是（ ）

A.線段的三等分點，且靠近點B.線段的中點

C.線段的三等分點，且靠近點D.線段的四等分點，且靠近點

【答案】B

【解析】

將問題轉(zhuǎn)化為動點到直線的距離最小時，確定點的位置，建立空間直角坐標系，取的中點，通過坐標運算可知，即是動點到直線的距離，再由空間兩點間的距離公式求出后，利用二次函數(shù)配方可解決問題.

設(shè)正方體的棱長為1，以為原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：

則，，的中點，

，，則，

設(shè)，，

由與共線，可得，所以，所以，其中，

因為，

，

所以，所以，即是動點到直線的距離，

由空間兩點間的距離公式可得，

所以當時，取得最小值，此時為線段的中點，

由于為定值，所以當的面積取得最小值時，為線段的中點.

故選：B

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在正方體中，棱長為2，分別為棱的中點，為底面正方形內(nèi)一點（含邊界）且與面所成角的正切值為，直線與面的交點為，當到的距離最小時，則四面體外接球的表面積為___________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，是函數(shù)的導數(shù).

（1）若是上的單調(diào)函數(shù)，求的值；

（2）當時，求證：若，且，則.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】十八大以來，黨中央提出要在2020年實現(xiàn)全面脫貧，為了實現(xiàn)這一目標，國家對“新農(nóng)合”（新型農(nóng)村合作醫(yī)療）推出了新政，各級財政提高了對“新農(nóng)合”的補助標準．提高了各項報銷的比例，其中門診報銷比例如下：

表1：新農(nóng)合門診報銷比例

醫(yī)院類別

村衛(wèi)生室

鎮(zhèn)衛(wèi)生院

二甲醫(yī)院

三甲醫(yī)院

門診報銷比例

60%

40%

30%

20%

根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，李村一個結(jié)算年度門診就診人次情況如下：

表2：李村一個結(jié)算年度門診就診情況統(tǒng)計表

醫(yī)院類別

村衛(wèi)生室

鎮(zhèn)衛(wèi)生院

二甲醫(yī)院

三甲醫(yī)院

一個結(jié)算年度內(nèi)各門診就診人次占李村總就診人次的比例

70%

10%

15%

5%

如果一個結(jié)算年度每人次到村衛(wèi)生室、鎮(zhèn)衛(wèi)生院、二甲醫(yī)院、三甲醫(yī)院門診平均費用分別為50元、100元、200元、500元．若李村一個結(jié)算年度內(nèi)去門診就診人次為2000人次．

（Ⅰ）李村在這個結(jié)算年度內(nèi)去三甲醫(yī)院門診就診的人次中，60歲以上的人次占了80%，從去三甲醫(yī)院門診就診的人次中任選2人次，恰好2人次都是60歲以上人次的概率是多少？

（Ⅱ）如果將李村這個結(jié)算年度內(nèi)門診就診人次占全村總就診人次的比例視為概率，求李村這個結(jié)算年度每人次用于門診實付費用（報銷后個人應(yīng)承擔部分）的分布列與期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，設(shè)點是拋物線的焦點，直線與拋物線相切于點（點位于第一象限），并與拋物線的準線相交于點．過點且與直線垂直的直線交拋物線于另一點，交軸于點，連結(jié)．

（1）證明：為等腰三角形；

（2）求面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓，圓（為坐標原點）.過點且斜率為的直線與圓交于點，與橢圓的另一個交點的橫坐標為.

（1）求橢圓的方程和圓的方程；

（2）過圓上的動點作兩條互相垂直的直線，，若直線的斜率為且與橢圓相切，試判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（ ）

①在中，“”是“”的必要不充分條件；

②若，的最小值為2；

③夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體是圓柱；

④數(shù)列的通項公式為，則數(shù)列的前項和．（ ）

A.0B.1C.2D.3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】科學家為研究對某病毒有效的疫苗，通過小鼠進行毒性和藥效預(yù)實驗.已知5只小鼠中有1只患有這種病毒引起的疾病，需要通過化驗血液來確定患病的小鼠.血液化驗結(jié)果呈陽性的即為患病小鼠，呈陰性即沒患病.下面是兩種化驗方案：

方案甲：逐個化驗，直到能確定患病小鼠為止.

方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗.若結(jié)果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定患病小鼠為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗.

（1）求方案甲化驗次數(shù)X的分布列；

（2）判斷哪一個方案的效率更高，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，越來越多的人習慣用手機應(yīng)用程序（簡稱app）獲取新聞資訊.為了解用戶對某款新聞類app的滿意度，隨機調(diào)查了300名用戶，調(diào)研結(jié)果如表：（單位：人）

青年人

中年人

老年人

滿意

60

70

x

一般

55

25

y

不滿意

25

5

10

（1）從所有參與調(diào)研的人中隨機選取1人，估計此人“不滿意”的概率；

（2）從參與調(diào)研的青年人和中年人中各隨機選取1人，估計恰有1人“滿意”的概率；

（3）現(xiàn)需從參與調(diào)研的老年人中選擇6人作進一步訪談，若在“滿意”、“一般”、“不滿意”的老年人中各取2人，這種抽樣是否合理？說明理由.

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