Question

【題目】已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，為上的奇函數(shù)，且.

（1）求的解析式；

（2）若函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由解之即可；（2）將函數(shù)的解析式代入化簡(jiǎn)，把函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成方程的根的問(wèn)題，然后利用指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為方程，再通過(guò)換元法可變?yōu)榉匠?/span>只有一個(gè)正根的問(wèn)題，最后分成方程有兩相等正根、一正跟一負(fù)根和方程為一次方程三種情況討論即可.

（1） 因?yàn)?/span>，所以，即，

由解之得：.

（2）

進(jìn)一步化簡(jiǎn)得，

令得：，

化簡(jiǎn)得：，令，則，

即方程只有一個(gè)正根，當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)方程有一正一負(fù)兩根時(shí)，滿足條件，則，所以；當(dāng)方程有兩個(gè)相等的正根時(shí)，則，所以或（舍），時(shí)，滿足條件.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為：.