Question

13．設(shè)F₁為橢圓C₁：$\frac{（x-1）^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1的左焦點(diǎn)，M是C₁上任意一點(diǎn)，P是線段F₁M的中點(diǎn)；
（]）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）若直線y=kx+2交軌跡C于A，B兩點(diǎn)，AB的中垂線交y軸于點(diǎn)Q（0，t），求t的范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出M點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓C₁方程化簡(jiǎn)即可得出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，由判別式大于零得出k的范圍，得出AB的中垂線方程，求得t關(guān)于k的表達(dá)式，根據(jù)k的范圍得出t的范圍．

解答 解：（1）F₁（-1，0），設(shè)P（x，y），則M（2x+1，2y），
∵M(jìn)在橢圓C₁：$\frac{（x-1）^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1上，∴$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消元得（3+4k²）x²+16kx+4=0，
令△=（16k）²-16（3+4k²）＞0，解得k$＞\frac{1}{2}$或k＜-$\frac{1}{2}$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{16k}{3+4{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4=$\frac{12}{3+4{k}^{2}}$，
∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{8k}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{6}{3+4{k}^{2}}$），
∴AB的中垂線方程為y-$\frac{6}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{8k}{3+4{k}^{2}}$），
令x=0得y=$\frac{-2}{3+4{k}^{2}}$，即t=$\frac{-2}{3+4{k}^{2}}$，
∵k²$＞\frac{1}{4}$，∴t＜-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．