Question

已知拋物線y²=4x的準(zhǔn)線與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若雙曲線的離心率為2，則三角形AOB的面積S_△AOB=（　�。�

• A、

  3

• B、

  9 3

  16

• C、

  3

  4

• D、4

  3

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由拋物線y²=4x，可得準(zhǔn)線方程為x=-1．由雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）可得兩條漸近線方程分別為y=±

b

a

x．由于雙曲線的離心率為2，可得2=

1+( b a )2

，解得

b

a

．把漸近線方程與直線x=-1聯(lián)立即可解得A，B
的坐標(biāo)，再利用三角形面積計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：由拋物線y²=4x，可得準(zhǔn)線方程為x=-1．
由雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）可得兩條漸近線方程分別為y=±

b

a

x．
∵雙曲線的離心率為2，∴2=

1+( b a )2

，解得

b

a

=

3

．
∴雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）可得兩條漸近線方程分別為y=±

3

x．
聯(lián)立

x=-1 y= 3 x

，解得

x=-1 y=- 3

，取B(-1，-

3

)．
同理可得A(-1，

3

)．
∴|AB|=2

3

．
則三角形AOB的面積S_△AOB=

1

2

×1×|AB|=

1

2

×2

3

=

3

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．