Question

16．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左頂點為（-2$\sqrt{3}$，0），其離心率等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設直線y=k x 與橢圓相交于A，B兩點，右焦點為F₂，M，N分別為線段AF₂，BF₂的中點，若坐標原點O在以MN為直徑的圓上，求k 的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過左頂點可知a=$2\sqrt{3}$，利用離心率的值可知c=3，進而計算可得結(jié)論；
（Ⅱ） 通過坐標原點O在以MN為直徑的圓上可知OM⊥ON，利用OM、ON均是△ABF₂的中位線可知四邊形OMF₂N為矩形，進而AF₂⊥BF₂，聯(lián)立直線與橢圓方程、利用韋達定理解方程$\overrightarrow{{F_2}A}$•$\overrightarrow{{F_2}B}$=0即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題意得$\left\{\begin{array}{l}a=2\sqrt{3}\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\end{array}\right.$，
∴c=3，∴b²=a²-c²=3，
因此a²=12，b²=3，
故橢圓方程為$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$；
（Ⅱ） 聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx\end{array}\right.$，消去y、整理得（1+4k²）x²-12=0，
設A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=0，{x_1}{x_2}=\frac{-12}{{1+4{k^2}}}$，
∵坐標原點O在以MN為直徑的圓上，
∴OM⊥ON，
又∵OM、ON均是△ABF₂的中位線，
∴四邊形OMF₂N為矩形，
∴AF₂⊥BF₂，
∵$\overrightarrow{{F_2}A}$=（x₁-3，y₁），$\overrightarrow{{F_2}B}$=（x₂-3，y₂），
∴$\overrightarrow{{F_2}A}$•$\overrightarrow{{F_2}B}$=$（{{x_1}-3}）（{{x_2}-3}）+{y_1}{y_2}=（{1+{k^2}}）{x_1}{x_2}+9=0$，
即$\frac{{-12（1+{k^2}）}}{{1+4{k^2}}}+9=0$，
解得$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．