Question

3．在△ABC中，∠BAC=135°，BC邊上的高為1，則|BC|的最小值為2+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 在△ABC中，由余弦定理有：BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos135°=AB²+AC²+$\sqrt{2}$AB•AC=（AB-AC）²+AB•AC（2+$\sqrt{2}$）
因此：當(dāng)AB=AC時(shí)，BC²有最小值，即BC有最小值，最小值是AB•$\sqrt{2+\sqrt{2}}$，求出AB，即可得出結(jié)論．

解答 解：在△ABC中，由余弦定理有：
BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos135°=AB²+AC²+$\sqrt{2}$AB•AC=（AB-AC）²+AB•AC（2+$\sqrt{2}$）
因此：當(dāng)AB=AC時(shí)，BC²有最小值，即BC有最小值，最小值是AB•$\sqrt{2+\sqrt{2}}$．
所以：此時(shí)根據(jù)勾股定理有AB²=1+（$\frac{1}{2}$AB•$\sqrt{2+\sqrt{2}}$）²
求得：AB=$\frac{2}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}$，
所以：BC=2+2$\sqrt{2}$．
故答案為：2+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用余弦定理是關(guān)鍵．