Question

15．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤4的解集；
（Ⅱ）使f（x）≥m恒成立的實(shí)數(shù)m的最大值為t，若a、b均為正實(shí)數(shù)，且滿足a+b=2t．求a²+b²的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）去掉絕對值，分類討論，求出不等式f（x）≤4的解集；
（Ⅱ）利用基本不等式，即可求a²+b²的最小值．

解答 解：（Ⅰ）x≤1時(shí)，-x+1-x+2≤4，∴x≥-0.5，∴-0.5≤x≤1；
1＜x＜2時(shí)，x-1-x+2≤4，恒成立；
x≥2時(shí)，x-1+x-2≤4，∴x≤3.5，∴2≤x≤3.5，
綜上所述，不等式f（x）≤4的解集為{x|-0.5≤x≤3.5}．…（4分）
（Ⅱ）由f（x）≥m知m≤1，∴t=1．
即a+b=2，則a²+b²=（a+b）²-2ab=4-2ab≥4-2•$（\frac{a+b}{2}）^{2}$=4-2•1=2
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取最小值2．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查不等式的解法，考查基本不等式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確運(yùn)用基本不等式是關(guān)鍵．