Question

4．已知f（x）=3$\sqrt{2}$cos（x+φ）+sinx，x∈R，φ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}}$）的圖象過（${\frac{π}{2}$，4）點(diǎn)，則f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}}$]上的值域?yàn)椋ā　。?table class="qanwser">A．[-5，5]B．[3，5]C．[3，4]D．[2，5]

Answer 1

分析 根據(jù)題意$f（{\frac{π}{2}}）=4$，由此求出φ的值，化簡(jiǎn)f（x）為正弦型函數(shù)，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求出f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}}$]上的值域．

解答 解：根據(jù)題意，$f（{\frac{π}{2}}）=4$，
則$3\sqrt{2}cos（{\frac{π}{2}+φ}）+sin\frac{π}{2}=4$，
解得$sinφ=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
又$φ∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$，
所以φ=-$\frac{π}{4}$，
所以f（x）=3$\sqrt{2}$cos（x-$\frac{π}{4}$）+sinx=3cosx+4sinx=5sin（x+θ），
其中$sinθ=\frac{3}{5}，cosθ=\frac{4}{5}$；
故$\frac{π}{6}＜θ＜\frac{π}{4}$，
由$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$知，$0≤x+θ≤\frac{π}{2}+θ$，
故3=5sinθ≤5sin（x+θ）≤5，
即f（x）的值域?yàn)閇3，5]．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查轉(zhuǎn)化與計(jì)算能力的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．