Question

19．如圖，在△ABC中，AH平分∠BAC，交△ABC的外接圓O于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作DE∥BC．分別交AB，AC的延長(zhǎng)線于D，E兩點(diǎn)．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若FH=6，HA=2，求BF的長(zhǎng)；
（3）若∠BAC=120°，在（2）的條件下．求$\widehat{BFC}$長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接FO且延長(zhǎng)交BC于M，證明：∠MFE=90°，即可證明DE是⊙O的切線；
（2）若FH=6，HA=2，證明△FBH∽△FAB，可得FB2=FH•FA，即可求BF的長(zhǎng)；
（3）若∠BAC=120°，求出CO，即可求$\widehat{BFC}$長(zhǎng)．

解答 （1）證明：連接FO且延長(zhǎng)交BC于M
∵∠1=∠2
∴F是BC弧的中點(diǎn)∴FM⊥BC∴∠CMF=90°
∵BC∥DE∴∠CMF+∠MFE=180°
∴∠MFE=90°
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：在△FBH和△FAB中，∠4=∠4，∠3=∠1，
∴△FBH∽△FAB，∴FB2=FH•FA
∴FB=4$\sqrt{3}$
（3）解：∵∠BAC=120°，∴∠1=∠2=60°，∴∠3=60°
在RT△BMF中，∵BF=4$\sqrt{3}$，∠BFM=30°
∴MB=MC=2$\sqrt{3}$，MF=6
在RT△MOC中可以求得到CO=4
∴弧BFC的長(zhǎng)度：$\frac{240π•4}{180}$=$\frac{16π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查切割線定理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．