Question

4．已知$\overrightarrow{e}$₁，$\overrightarrow{e}$₂為平面上的單位向量，$\overrightarrow{e}$₁與$\overrightarrow{e}$₂的起點均為坐標原點O，$\overrightarrow{e}$₁與$\overrightarrow{e}$₂夾角為$\frac{π}{3}$．平面區(qū)域D由所有滿足$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{e}$₁+μ$\overrightarrow{e}$₂的點P組成，其中$\left\{{\begin{array}{l}{λ+μ≤1}\\{0≤λ}\\{0≤μ}\end{array}}\right.$，那么平面區(qū)域D的面積為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$

Answer 1

分析 以O為原點，以$\overrightarrow{{e}_{1}}$方向為x軸正方向，建立坐標系xOy，寫出$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$的坐標，根據(jù)$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$+μ$\overrightarrow{{e}_{2}}$寫出$\overrightarrow{OP}$的坐標表示，利用向量相等列出方程組，求出點P的坐標滿足的約束條件，畫出對應的平面區(qū)域，計算平面區(qū)域的面積即可．

解答 解：以O為原點，以$\overrightarrow{{e}_{1}}$方向為x軸正方向，建立坐標系xOy，
則$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（1，0），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（cos$\frac{π}{3}$，sin$\frac{π}{3}$）=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
又$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$+μ$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（λ+$\frac{1}{2}$μ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$μ），其中λ≥0，μ≥0，λ+μ≤1；
設$\overrightarrow{OP}$=（x，y），
則（x，y）=（λ+$\frac{1}{2}$μ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$μ），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=λ+\frac{1}{2}μ}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}μ}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=x-\frac{\sqrt{3}}{3}y}\\{μ=\frac{2\sqrt{3}}{3}y}\end{array}\right.$；
由于λ≥0，μ≥0，λ+μ≤1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{\sqrt{3}}{3}y≥0}\\{y≥0}\\{x+\frac{\sqrt{3}}{3}y≤1}\end{array}\right.$，
它表示的平面區(qū)域如圖所示：

由圖知A（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（1，0）；
所以陰影部分區(qū)域D的面積為S=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故選：D．

點評 本題考查了線性規(guī)劃的應用問題，解題的關鍵是根據(jù)約束條件正確地畫出平面區(qū)域，然后結合有關面積公式進行計算，是綜合性題目．