【題目】橢圓C: =1(a>b>0),作直線l交橢圓于P,Q兩點,M為線段PQ的中點,O為坐標原點,設(shè)直線l的斜率為k1 , 直線OM的斜率為k2 , k1k2=﹣ .
(1)求橢圓C的離心率;
(2)設(shè)直線l與x軸交于點D(﹣ ,0),且滿足 =2 ,當△OPQ的面積最大時,求橢圓C的方程.
【答案】
(1)解:設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
代入橢圓C的方程有: ,
兩式相減: ,
即 ,
直線l的斜率為k1,直線OM的斜率為k2,
可得k1= ,k2= ,
即有 ,
即b2= a2,c2=a2﹣b2= a2,
可得 ;
(2)解:由(1)知 ,得a2=3c2,b2=2c2,
可設(shè)橢圓C的方程為:2x2+3y2=6c2,
設(shè)直線l的方程為: ,
代入橢圓C的方程有 ,
因為直線l與橢圓C相交,所以△=48m2﹣4(2m2+3)(6﹣6c2)>0,
由韋達定理: , .
又 ,所以y1=﹣2y2,代入上述兩式有: ,
= ,
當且僅當 時,等號成立,此時c2=5,代入△,有△>0成立,
所以所求橢圓C的方程為:
【解析】(1)設(shè)P(x1 , y1),Q(x2 , y2),代入橢圓方程,作差,結(jié)合直線的斜率公式和中點坐標公式,即可得到b2= a2 , 運用離心率公式可得所求;(2)橢圓C的方程為:2x2+3y2=6c2 , 設(shè)直線l的方程為: ,代入橢圓方程,運用韋達定理,再由向量共線的坐標表示,求得三角形的面積,化簡運用基本不等式可得最大值,即可得到所求橢圓方程.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:已知函數(shù)
(Ⅰ)若曲線y=f(x)在點P(2,f(2))處的切線的斜率為﹣6,求實數(shù)a;
(Ⅱ)若a=1,求f(x)的極值;
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【題目】若命題“x0∈R,使得x02+mx0+2m﹣3<0”為假命題,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.[2,6]
B.[﹣6,﹣2]
C.(2,6)
D.(﹣6,﹣2)
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【題目】如圖,在△ABC中,DC⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE交DC于點F,若BF=FC=3,DF=FE=2.
(1)求證:ADAB=AEAC;
(2)求線段BC的長度.
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【題目】如圖,在三棱錐中,平面平面, , , , 分別為線段上的點,且, , .
(1)求證: 平面;
(2)若與平面所成的角為,求平面與平面所成的銳二面角.
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【題目】如圖,已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且 ,平面ABCD⊥平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2
(1)證明:AG∥平面BDE;
(2)求平面BDE和平面BAG所成銳二面角的余弦值.
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【題目】二項式的展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大,且展開式中的第3項的系數(shù)是第4項的系數(shù)的3倍,則的值為( )
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
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【題目】某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品,根據(jù)經(jīng)驗,其次品率與日產(chǎn)量 (萬件)之間滿足關(guān)系, (其中為常數(shù),且,已知每生產(chǎn)1萬件合格的產(chǎn)品以盈利2萬元,但每生產(chǎn)1萬件次品將虧損1萬元(注:次品率=次品數(shù)/生產(chǎn)量, 如表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品,有1件次品,其余為合格品).
(1)試將生產(chǎn)這種產(chǎn)品每天的盈利額 (萬元)表示為日產(chǎn)量 (萬件)的函數(shù);
(2)當日產(chǎn)量為多少時,可獲得最大利潤?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C1:x2=2py(p>0),點A(p, )到拋物線C1的準線的距離為2.
(1)求拋物線C1的方程;
(2)過點A作圓C2:x2+(y﹣a)2=1的兩條切線,分別交拋物線于M,N兩點,若直線MN的斜率為﹣1,求實數(shù)a的值.
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